Áreas



Quando se fala que um terreno é maior que outro ou que um estado do Brasil é maior que outro entendemos intuitivamente o que isso quer dizer.

Podemos chamar isso do "tamanho" da região ou que é uma medida do "espaço" que a região ocupa.

É útil / interessante ter uma medida prática desse “tamanho.

Por exemplo:

a) Em agricultura é importante para um agricultor saber quantos pés de milho ele consegue plantar no seu terreno

c) Vendedores de imóveis gostam de falar sobre o "espaço" que seus apartamentos e dos quartos.

b) Para construção é necessário saber o quanto de tinta a usar numa parede ou também quantos ladrilhos precisamos usar em um certo chão.


Chamamos de Área a essa medida do “tamanho” de uma região.

(figura1)

Agora vamos detalhar mais esse conceito.

Comecemos com uma região simples um quadrado de lado 1 centímetro (1 cm).

(figura2)

Vamos fixar esse quadrado como tendo área 1 e chamá-lo de quadrado unitário por simplicidade.


Desenhemos agora um quadrado de lado 2 cm.

(figura3)

Quantos quadrados unitários cabem dentro dele?

Note que podemos colocar dois quadrados por exemplo em sua base e ainda fica sobrando espaço em cima:

(figura4)

E no espaço superior podemos colocar mais dois quadrados, totalizando quatro quadrados.

(figura5)

Então dentro de quadrado de lado dois (2 por 2) cabem quatro quadrados unitários.

(figura4)

Logo o nosso quadrado de lado dois tem área 4. *(1)



(1) Discutiremos a unidade de área e a relação com o cm original mais adiante


(figura5)

Agora pensemos em um retângulo de de 4 cm de horizontal por 3 cm de altura.

(figura5)

Agora na fileira de baixo conseguimos colocar 4 quadrados.

(figura5)

Podemos colocar mais outra fileira de 4 quadrados

(figura5)

Como a altura é de 3 cm temos espaço para exatamente mais uma fileira:

(figura5)

Logo o retângulo de 3 cm por 4 cm tem área 4 + 4 + 4 = 3 x 4 = 12.

E se um retângulo tiver lados 12 e 7 ?

Na primeira fileira embaixo cabem 12 quadrados agora cabendo além dessa várias outras fileiras. Temos no total 7 fileiras, ou seja, temos:

12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 7 x 12 que dá 84.

Ou seja, essa retângulo tem área 84.

Repare que nesse caso acabamos multiplicando 12 por 7 para obter a área, ou seja, multiplicamos a base (quantos quadrados cabem na base) pela quantidade de fileiras (a altura do retângulo).

Então

A área do retângulo: é base x altura:

Se fazermos um retângulo de lados “b cm” e “h cm” esse retângulo terá "b.h" de área (lembrando que usamos o quadrado de lado 1 cm como referência no início) como o "b" vem acompanhado da unidade "cm" assim como temos "h" cm

Poderíamos ingenuamente fazer



como sendo:



com se "cm" fosse uma incógnita.



e então diremos que sua área será de " b.h cm^2 ".

Repare que essa discussão de usar "cm elevado a dois" ou "cm ao quadrado" quando falamos de área é um bom jeito de lembrar que aqui estamos usando o quadrado de lado 1 cm como referência(quadrado unitário) (e note tamnbém o português da coisa). Se usásemos o milímetro ou polegadas para medir áreas obteríamos resultados totalmente diferentes pois estaríamos usando quadrados de referências totalmente diferentes. Álem disso usar "cm ao quadrado" tem a vantagem de diferenciar área (espaço ocupado) de "cm" sozinho que é medida de comprimento ou distância.

Os lados dos quadrados e retângulos nem sempre são inteiros, no entanto, não é difícil acreditar que a área dos quadrados e dos retângulos mantém as mesmas fórmulas*(2). Podemos sintetizar o que descobrimos até agora em

Fórmula da área do retângulo: Um retângulo de lados "b cm" e "h cm" tem área "b.h cm^2":

Fórmula da área do quadrado: Um quadrado de lado "a cm" tem área "a.a cm^2 ou a^2 cm^2".

(figura7)

Em problemas de matemática é comum não darmos as unidades de medida dos segmentos ou de área usando somente números sem unidade, veremos curiosamente que podemos diferenciar fórmulas de comprimento das fórmulas das fórmulas de áreas usando as unidades de medida.


Como a área de uma figura é uma medida do seu “tamanho” (ou o espaço ocupado) então a área de uma figura é igual à soma das áreas de suas partes.


Num retângulo de lados “a cm” e “b cm”, se traçarmos uma de suas diagonais dividimos o retângulo em dois triângulos retângulos iguais de lados “a” e “b”.

(figura8)

Triângulo


Então cada um desses triângulos tem metade da área do retângulo inteiro, ou seja, a área do triângulo retângulo é (a.b)/2.

Fórmula da área do triângulo retângulo. A área de um triângulo retângulo de catetos “a” e “b” é (a.b)/2.

E se o triângulo não for reto? Como na figura:

(figura9)

Como podemos fazer pra calcular sua área?

Podemos dividir ele em triângulos retângulos e como sabemos calcular a área de triângulos retângulos somamos suas áreas e achamos a área do triângulo inteiro. Para dividir em triângulos retângulos podemos traçar a altura assim:

Esse será um jeito um pouco mais trabalhoso.

(figura10)

A área do primeiro triângulo é (m.h)/2 e a do segundo é (n.h)/2 então a área do triângulo inteiro é:




e colocando o “h” em evidência e temos



Ou seja, a área do triângulo é:



Fórmula da área do triângulo: A área de um triângulo é (base x altura)/2.

Se o triângulo for retângulo sua área também pode ser dada por (base x altura)/2 e neste caso a altura é um dos catetos.

Como um triângulo tem três lados podemos "girar" o triângulo e usar qualquer lado base em alguns problemas vale a pena pensar um pouco com relação à qual “base” fica mais fácil calcular a área.

Demonstração alternativa


(figura11)

Imagine que a sua mãe fez uma torta deliciosa, mas no momento você estava ocupado(estudando) com outras coisas e mal você vê o seu irmão comeu. toda a área hachurada abaixo:

Agora você fica super chateado e reclama com ele que ele comeu mais da metade do bolo e porque ele não te esperou etc...

E o seu irmão conta mostrando no bolo

(figura11)

Querido irmão eu comi essa parte do bolo (a da esquerda) e deixei uma igualzinha para você.

(figura11)

Depois comi essa parte à direita e deixei no espírito de fraternidade novamente deixei um igual para você.

Então o que eu comi é a mesma quantidade que eu deixei para você. Eu fiquei com a metade e você ficou com a metade da torta inteira

E Falando de área o triângulo que comi tem metade da área do retângulo!

Ou seja,



Obs. Nerd. Pode acontecer de o triângulo ser obtuso assim:

(figura12)

Aí o nosso raciocínio tem que mudar pense um pouco! Mas a fórmula para a área continua a mesma! *.

Vamos ver outro jeito de encontrar a área do triângulo a partir da área do paralelogramo mais a seguir no texto.

(Curiosidade) Como a área do triângulo depende somente da sua base e da altura logo todos os triângulos abaixo têm a mesma área.

(figura13)

Pensar a respeito disso é um jeito legal de introduzir o Princípio de Cavalieri para figuras planas.

Uma outra figura importante que já estudamos é o paralelogramo. Agora vamos tentar achar sua área.

(figura14)


Paralelogramo

Dem. 1


Podemos dividir o paralelogramo em dois triângulos pela diagonal.

(figura15)

Esses dois triângulos são iguais!! (gire 180º um triângulo) (mais formal pelo caso LAL de congruências visto no capitulo “Conseqüências”) então a área de um paralelogramo é igual à duas vezes a área do triangulo.





Área do paralelogramo: A área do paralelogramo é (base)*(altura).

Dem. 2


Vamos dar uma outra olhada no paralelogramo:

(figura16)

O paralelogramo parece um retângulo “entortado” vamos “concertar” ele:

(figura17)

Cortando um triângulo de uma das pontas e colocando na outra “concertamos” o paralelogramo fazendo dele um retângulo de mesma altura com área b*H demonstrando a fórmula.

Se traçamos a diagonal de um paralelogramo dividimos ele em dois triângulos iguais logo a área de cada triângulo é metade da do paralelogramo A = b*h/2. Demonstrando de outra forma a área do triângulo. Note que todo triângulo vem da metade de um paralelogramo. Por isso essa demonstração é completa.

(figura17_1)

A área do paralelogramo depende da base e da sua altura então todos os paralelogramos abaixo têm a mesma área.

(Figura17_2)

Agora vamos achar a área do trapézio isósceles.

Trapézio


(figura18)

Começaremos com um jeito meio dureza (meio trabalhoso). Depois vai ficar mais bonitinho se quiser pode pular para a demonstração 2 ou 3.

Dem. 1


Podemos dividir um trapézio em triângulos e em retângulos. Calcular a área de cada um deles e depois somar para achar a área do trapézio. Para chegar na expressão mais usada para áreas de trapézios.

Podemos dividir o trapézio traçando as duas “alturas”.

(figura18_1)

Separando ele em um retângulo e dois triângulos iguais nas pontas.





como "m + b + n = a" então o termo "m + n" é igual a "a – b"





Logo:

Fórmula da área do trapézio: ((base menor + base maior) x altura) /2.

Dem. 2


Podemos dividir um trapézio em apenas dois triângulos! Traçando uma diagonal do trapézio.

(figura19)

A área do triângulo de baixo é b*h/2 e a área do triângulo de cima é a*h/2 então á área do trapézio é a soma das duas áreas:



Área do trapézio:



Dem. 3


Uma outra forma de calcular a área de um trapézio é concertando ele como fizemos com o paralelogramo. Desta vez vamos acertar cada lado separadamente assim:

(figura19_1)

“Concertando” o trapézio ficamos com um retângulo de mesma altura e lado igual a “base média do trapézio”, podemos mostrar que a base média é igual a (a+b)/2 (exercício*). Terminando a demonstração.

Exercício: Dem. 4 Mostre que a área do trapézio é a média do retângulo de dentro com o de fora.

(figura 19_2)

A área do trapézio depende da altura e das bases então todos os trapézios abaixo têm a mesma área.

(figura 19_3)

Os triângulos de mesma base e altura

(figura20_1)

Os paralelogramos:

(figura20_2)

E os trapézios:

(figura20_3)

Repare que os cortes de cada trapézio têm sempre os mesmos comprimentos (demonstre isso!).

(figura20_4)

Isso motiva o seguinte princípio:

Princípio de Cavalieri: Se duas regiões planas têm sempre os mesmos “cortes”. Então eles têm a mesma área.

Princípio de Cavalieri


(figura20_5)

Para demonstrar esse princípio podemos aproximar a área de cada figura por retângulos finos.

(figura20_6)

Quanto mais finos fazemos os retângulos melhor fica a aproximação, como as duas figuras vão ter os mesmos retângulos então elas têm a mesma área.

Em geometria espacial veremos o análogo desse princípio para sólidos. (O Princípio de Cavalieri ficou conhecido primeiro para sólidos).

Quando um paralelogramo tem todos os lados iguais criamos uma figura especial que chamamos de losango.

(figura21_1)

Podemos também desenhar essa figura “de pé”.

(figura21_2)

Losango


Desta forma ela parece mais “simétrica”, como ela é um paralelogramo podemos calcular a sua área usando a fórmula de paralelogramo vamos agora, procurar um meio de calcular sua área através das diagonais.

Olhando um losango não podemos deixar de ter a impressão que as diagonais formam 90º e cortam ao meio (pede-se a raciocínio mais rigoroso no exercício *). No momento vamos simplesmente assumir isso.

(figura22)

Então podemos ver que o losango fica dividido em quatro triângulos retângulos iguais. Logo a área do losango fica:





Fórmula da área do Losango: A área de um losango de diagonais “d” e “D” é (d.D)/2.

Demonstração alternativa


Outro jeito de chegar nesse resultado é completar o losango para ele virar um retângulo assim:

(figura23)

Os triângulos retângulos são todos iguais. O losango tem quatro triângulos e o retângulo tem 8 triângulos então a área do losango é metade da do retângulo! Ou seja, a área do losango é (d.D)/2.




(1) Por enquanto vamos trabalhar com centímetro, mas veremos que podemos trabalhar de forma semelhante com outras unidades de medida.

(2) Se quiser mais detalhes olhe no apêndice

(3) Pela definição um quadrado também é um retângulo.

(4) Usando a segunda demonstração da área do paralelogramo que não usa área de triângulos para o raciocínio não ficar circular.