Achar a diagonal de um retângulo é a mesma coisa que achar a hipotenusa do triângulo retângulo. Finja que você nunca ouviu falar do Teorema de Pitágoras para os propósitos deste post, afinal nosso objetivo será chegar neste teorema.

No post “diagonal do quadrado desde o começo” descobrimos como achar o comprimento da diagonal do quadrado a partir do lado. Este post será uma continuação daquele, e usaremos as mesmas idéias fazendo adaptações onde for necessário.

Obs. Recomendo clicar nos links antes de continuar, assim algumas coisas vão fazer mais sentido…

Para tornar o problema mais concreto vamos imaginar que os lados do retângulo medem 5 e 8, a idéia funcionando para quaisquer lados.
external image diagonal-do-retangulo-sem-nada.jpg?w=270&h=181
Montando uma figura parecida com a antiga temos:

external image quadrado-lado-1-mais-quadrado-diagonal.jpg?w=442&h=441external image diagonal-do-retangulo-com-lados-tracejado-incompleto1.jpg?w=450&h=454

Primeiro vamos achar a área do quadrado “inclinado” para depois achar seu comprimento.
Tentando estender a divisão passada, vamos colocar triângulos assim:

external image quadrado-lado-1-mais-quadrado-diagonal-dividido.jpg?w=442&h=445external image diagonal-do-retangulo-com-lados-tracejado1.jpg?w=450&h=444


Os quatro triângulos dentro do quadrado formam um “catavento” (girando 90 graus o triângulo) sobrando agora um quadrado menor no meio.

Cada triângulo tem metade da área de um retângulo, então cada triângulo tem área (5.8)/2 = 20. logo os quatro triângulos juntos tem área = 80.

Para completar o quadrado inclinado falta o quadrado pequeno no meio, para achá-lo colocamos os comprimentos dos triângulos.

external image diagonal-do-retangulo-com-lados-tracejado-final.jpg?w=450&h=458
E reparamos que o quadrado menor tem lado 8-5 = 3 logo tem área 3.3 = 9.

Então o quadrado inclinado inteiro tem área 80 + 9 = 89, lembrando que a área de um quadrado é:



então




Para ver que isso é a mesma coisa que Pitágoras veja isso.