Divisão de fraçao



Suponha que uma companhia pague a mesma quantia a todos os operários de um certo setor. Mas por algum motivo o orçamento reservado para esse gasto foi dividido por 10.

Se chamarmos o salário original de cada operário de "s" e o número de operários naquele setor de "n". O gasto original era de

math
\mbox{Gasto original } = n.s
math

Então,

math
\mbox{Gasto reduzido } =\dfrac{n.s}{10}
math

Para que se gaste 10 vezes menos podemos por exemplo diminuir a quantidade de operários do setor dividindo por 10, ou seja agora temos n/10 operários (mantendo o salário).

math
\mbox{Gasto reduzido } =\dfrac{n}{10}.s
math

De novo para ter o mesmo efeito poderíamos diminuir o salário de todos os operáriosio do setor dividindo por 10, ou seja agora o salário é de "s/10" (mantendo o número de operários).

math
\mbox{Gasto reduzido } =n.\dfrac{s}{10}
math

Ou ainda poderíamos diminuir o salário dos funcionários dividindo por 2 e a quantidade de funcionários dividindo por 5.

math
\mbox{Gasto reduzido } =\dfrac{n}{5}.\dfrac{s}{2}
math

Comparando os métodos possíveis de redução com a redução desejada temos:







Ou seja,



E uma propriedade de brinde:




Quando multiplicamos frações multiplicamos os de cima (mantendo emcima) e multiplicamos os debaixo (mantendo-os embaixo).

Divisão do que está dividido


Para dividir uma rapadura em 10 partes iguais podemos ao longo de um comprimento dividir a rapadura em 10,

(figura)

ou podemos também dividir a rapadura em 5 partes em cada parte dividir em 2,

(figura)

ou o contrário dividí-la em 2 partes e cada uma delas em 5.

(figura)

Se chamarmos a rapadura de "R", temos:



e




Uma coisa diferente sobre frações


Podemos pegar uma torta e dividir em duas partes (iguais) e pegar com uma das partes (1/2).
Também podemos pegar uma torta e dividí-la em seis partes (iguais) e se quisermos ficar com a mesma quantidade que acima devemos não pegar apenas uma mas três partes, ou seja, 3 partes de "sextos" de torta (3/6) é igual à (1/2)



então frações "diferentes" ou melhor "que tem numeradores e denominadores diferentes" podem representar a mesma quantidade.

Vamos ver agora um outro exemplo dividir a torta em 7 e pegar 5 partes ou 5 "sétimos" da torta (5/7),
Agora suponha que uma torta depois de dividida em 7 dividamos cada um desses "sétimos" em 4 partes menores então ....

acabamos dividindo a torta toda em 7x4 = 28 partes menores.

Mais acima pegamos 5 partes ou "sétimos" da torta. Como cada um desses sétimos foi no final das contas dividido em 4 partes menores ficamos com 5x4=20 partes menores

Resumindo os nossos (5/7) originais com relação às partes menores é 20 partes dentre 28, ou seja:



Ao dividir mais ainda cada pedaço da torta alteramos tanto a quantidade total de pedaços como a quantidade de pedaços que "pegamos" (no caso de 5 virou 20), e neste caso multiplicamos ambos os números por 4.

Com qualquer fração podemos fazer a mesma coisa "subdividindo em partes menores" na prática multiplicamos tanto o de cima quanto o de baixo pelo mesmo número isso tudo sem alterar a quantidade de torta que temos. Logo:




Uma propriedade importante de fração


Se vou dividir uma certa quantidade de rapadura "R" entre "n" pessoas o que cada pessoa recebe é*(1)






(1) Ao pensar na divisão não pensamos tanto no processo de divisão em si mas sim "no resultado do processo" que é o que "cada um recebe/pega no final".

Agora se tivermos o dobro de rapadura e o dobro de pessoas temos:



De forma mais simples mais rapadura é bom mas por outro lado o dobro de pessoas é ruim. De forma que o dobro de rapadura para o dobro de pessoas cada pessoa recebe a mesma quantidade:



Interpretando um pouco diferente, se cada rapadura damos para "n" pessoas e temos 2 rapaduras conseguiremos servir "2.n" pessoas.

Da mesma forma de tivéssemos 3 vezes mais rapadura e 3 vezes mais pessoas teríamos:



(Outro exemplo bom parece ser distribuição de comida)

Número dividido por fração


a) Uma interpretação de fração (a mais comum) é a divisão da quantidade para um número certo de pessoas. Ou seja:

Quanto fica cada parte?

b) Outra interpretação é que com uma certa quantidade se cada pessoa deve receber uma certa quantidade para quantas pessoas consigo distribuir.

Quantas partes cabem no todo?

Pense que você tem 100 litros de água e você quer dar 10 litros para cada pessoa então 10 pessoas vão receber água.



100 litros e cada pessoa recebe 5 litros então 20 pessoas receberão água.



100 litros e cada pessoa recebe 2 litros então 50 pessoas receberão água.



100 litros e cada pessoa recebe 1 litros então 100 pessoas receberão água.



Mas e agora?

100 litros e cada pessoa recebe 1/2 litro então ....?



.... 200 pessoas receberão água! Porque 1 litro vai dar para 2 pessoas então 100 litros vão dar para 200 pessoas.



ou também:



Um número dividido por fração e uma fração dividida por um número são coisas diferentes!

(80/4)/2 é diferente de 80/(4/2) !

(80/4)/2 é

= 20/2

= 10

enquanto:

80/(4/2) é

= 80/2

= 40

Observação sobre o entendimento algébrico das duas interpretações acima


Na interpretação a) temos por exemplo:



Ou seja, o Total dividido pelo número de pessoas é igual a parte.

Na segunda interpretação teríamos



Ou seja, o Total dividido pelo parte é igual ao número de pessoas.

E mais uma propriedade de brinde



E também temos que o Total é igual à parte vezes o número de pessoas



ou seja:



é como se o "n" que está dividindo tivesse passado multiplicando.

da mesma forma



Explicação 2




Lembre que podemos multiplicar uma igualdade, isso é ambos os lados multiplicados pelo mesmo número. Então ...

Por quem seria interessante multiplicar?

Pelo chato do "b" embaixo!



Cancelando no lado esquerdo o c emcima e embaixo vem:




Propriedade de fração sobre fração


Quando as duas frações tem o mesmo denominador



Lembre que podemos multiplicar em cima e em baixo de uma fração sem alterar o resultado... Neste caso qual seria o número conveniente?

Vamos multiplicar pelo "a"!



cancelando o "a" em ambas as frações temos:


Também podemos entender que já que multiplicar em cima e em baixo não altera a fração dividir também não deve alterar.


Fração dividida por fração


Explicação 1


O que podemos dizer de



Lembrando que podemos multiplicar em cima e em baixo de uma fração sem alterar o resultado... Neste caso qual seria o número conveniente? (dica não pense no exemplo acima!) (Se você já não estava pensando me desculpa por atrapanhar-te)

A fração em baixo é que é ruim! Seria tão bom se eu conseguisse me livrar dela...

Vamos então multiplicar por "d/c" o inverso de "c/d" embaixo!

Lembrando que devemos multiplicar em cima e em baixo!



Simplificando embaixo temos então:







ou seja, é a fração acima vezes o inverso da fração abaixo.



Explicação 2


Se segura... Começamos com a fração:



Agora vamos "separá-la" em partes que consigamos processar...



Agora separando as duas frações:



Já que um número dividido por 1 é ele igual a ele mesmo, temos





e então é



ou também:




Um jeito de falar...




Como somar "a" e subtrair "a" não faz diferença na vida de ninguém... podemos sumir com o "+a" e o "-a".



Outro exemplo:



Como multiplicar por "a" e dividir por "a" não faz diferença na vida de ninguém... podemos sumir com o "a" emcima e o "a" embaixo.